Tento závěrečný článek shrnuje Sklenského čísla jako formální rámec pro práci s obsahy pravidelných mnohoúhelníků se stranou jedna. Cílem není tvrdit, že jde o zavedenou matematickou teorii v odborné literatuře, ale přesně popsat vlastní pojmenování a související konstrukce.

1. Základní axiom obsahu

Pro každé celé n ≥ 3 definujeme K(n) jako obsah pravidelného n-úhelníku se stranou jedna.

K(n) = n / (4 · tan(π / n))

Toto je základní a nejdůležitější vztah celého rámce.

2. Axiom spojitého rozšíření

Vzorec lze rozšířit z celých n na reálné x > 2:

K(x) = x / (4 · tan(π / x))

Celá čísla odpovídají skutečným pravidelným mnohoúhelníkům. Necelá x odpovídají analytické interpolaci, nikoli běžným geometrickým polygonům.

3. Axiom monotonicity

Funkce K(x) je pro x > 2 rostoucí. Proto většímu parametru odpovídá větší obsah.

Z toho plyne, že pro celá n platí:

K(3) < K(4) < K(5) < ...

4. Axiom asymptotiky

Pro velké x platí přibližný vztah:

K(x) ≈ x² / (4π)

Tato aproximace ukazuje, že Sklenského čísla rostou přibližně kvadraticky s počtem stran.

5. Axiom metriky

Na parametrech x, y > 2 lze zavést vzdálenost podle rozdílu obsahů:

d(x, y) = |K(x) - K(y)|

Tato metrika je vhodná pro porovnávání tvarů podle obsahu. Nevyjadřuje však všechny geometrické vlastnosti tvaru.

6. Inverzní princip

Protože K(x) je rostoucí, lze k dané kladné hodnotě A hledat x, pro které K(x) = A. Tato úloha se obvykle řeší numericky.

Pro celá n lze hledat nejbližší hodnotu K(n). Tím vzniká Sklenského spektrum jako klasifikace podle nejbližšího obsahu.

7. Operace nad hodnotami

S hodnotami K(n) lze provádět běžné operace reálných čísel: sčítání, odčítání, násobení, porovnávání nebo výpočet rozdílů.

Pokud chceme výsledek převést zpět na parametr x, použijeme inverzní úlohu. Například:

x = K⁻¹(K(m) + K(n))

Taková operace je vlastní konstrukce v prostoru obsahů, ne standardní operace s mnohoúhelníky.

8. Co lze tvrdit přesně

Přesně lze tvrdit:

• Sklenského číslo K(n) je obsah pravidelného n-úhelníku se stranou jedna.
• Platí vzorec K(n) = n / (4 · tan(π / n)).
• Pro n = 6 dostáváme 3√3 / 2, tedy přibližně 2,598076211.
• Funkci lze rozšířit na reálná x > 2.
• Funkce je rostoucí.
• Pro velká x platí K(x) ≈ x² / (4π).
• Rozdíl |K(x) - K(y)| lze použít jako metriku podle obsahu.

9. Co je nutné formulovat opatrně

Opatrně je třeba formulovat pojmy jako operátorová algebra, Hamiltonián, Laplaceův operátor, fraktální interpolace nebo kryptografické použití. Tyto pojmy lze zavádět jen tehdy, když se přesně definuje prostor, funkce, operace a důvod, proč mají právě takový význam.

Bez těchto doplňujících definic je vhodné chápat je jako inspiraci pro další rozvoj, nikoli jako hotová tvrzení.

10. Sjednocující princip

Sjednocující princip Sklenského čísel lze formulovat jednoduše:

Pravidelné mnohoúhelníky se stranou jedna lze porovnávat pomocí jediné funkce K, která každému počtu stran přiřazuje obsah.

Všechny další konstrukce — spektrum, metrika, přírůstky, inverzní úloha nebo normalizace — jsou odvozené od této jediné funkce.

11. Závěr

Sklenského čísla tvoří čistý a srozumitelný rámec pro jednu geometrickou myšlenku: obsah pravidelného n-úhelníku se stranou jedna. Největší síla rámce je v jednoduchosti. Z jednoho vzorce lze získat tabulky hodnot, odhady, spojité rozšíření, inverzní úlohu i metriku podle obsahu. Při dalším rozšiřování je však důležité rozlišovat mezi přesně dokázanými vlastnostmi a volnějšími interpretačními návrhy.