Tento text uzavírá sérii přesným rozlišením mezi definicí, matematickou větou a volitelnou konstrukcí. Dřívější označení „axiomy“ nebylo vhodné: vzorec je definice a monotonicita či asymptotika jsou dokazatelné důsledky, nikoli samostatné axiomy.

Status pojmu

„Sklenského čísla“ jsou autorské pojmenování používané na tomto webu. Nejde o zavedený název v matematické literatuře. Jádrem je standardní vzorec pro obsah pravidelného mnohoúhelníku; obecný vztah pro stranu délky a uvádí Wolfram MathWorld.

Definice 1: diskrétní hodnoty

Pro každé celé n ≥ 3 definujeme:

K(n) = n / (4 · tan(π/n)).

Geometricky je to obsah pravidelného n-úhelníku se stranou jedna.

Definice 2: spojité rozšíření

Pro reálné x > 2 definujeme stejným předpisem:

K(x) = (x/4) cot(π/x).

Necelé parametry jsou body analytické interpolace, nikoli mnohoúhelníky s neceločíselným počtem stran.

Věta 1: přísná monotonicita

Funkce K je na (2, ∞) přísně rostoucí.

Důkaz: Derivace je součtem dvou kladných členů:

K′(x) = (1/4) cot(π/x) + (π/(4x)) csc²(π/x) > 0.

Pro x > 2 totiž platí 0 < π/x < π/2.

Věta 2: obraz a inverze

Funkce K zobrazuje (2, ∞) bijektivně na (0, ∞).

Odůvodnění: Je spojitá a přísně rostoucí, její limita při x → 2+ je 0 a při x → ∞ je nekonečno. Ke každému kladnému A proto existuje právě jedno x s K(x) = A.

Věta 3: asymptotika

Pro x → ∞ platí:

K(x) = x²/(4π) − π/12 + O(x⁻²).

Výsledek plyne z Laurentova rozvoje kotangenty publikovaného v NIST DLMF 4.19.6. Samotný člen x²/(4π) je užitečný hrubý odhad, ne přesná rovnost.

Definice 3: metrika podle obsahu

Pro x, y > 2 definujeme:

d(x, y) = |K(x) − K(y)|.

Jde o metriku, protože absolutní hodnota splňuje axiomy vzdálenosti a prostota K zaručuje, že d(x, y) = 0 právě tehdy, když x = y. Standardní axiomy metriky shrnuje Encyclopedia of Mathematics.

Definice 4: sčítání přes funkci K

Na (2, ∞) můžeme zavést:

x ⊕ y = K⁻¹(K(x) + K(y)).

Operace je uzavřená, komutativní a asociativní. V otevřeném intervalu nemá neutrální prvek, protože nulový obsah leží až na chybějící hranici x = 2. Na množině celých počtů stran operace obecně uzavřená není.

Co rámec nezavádí

• Nezavádí nový vzorec pro obsah; standardnímu vzorci dává autorský název při a = 1.
• Nedokazuje fyzikální teorii, energetický model ani kvantový systém.
• Nezavádí Hamiltonián nebo Laplaceův operátor bez potřebného prostoru a dalších definic.
• Neprokazuje fraktální strukturu ani kryptografickou bezpečnost.
• Metrika podle obsahu nepopisuje všechny geometrické rozdíly mezi tvary.

Sjednocující princip

Všechny obhajitelné konstrukce v sérii vycházejí z jednoho zobrazení K: diskrétní hodnoty popisují obsahy skutečných pravidelných mnohoúhelníků, spojité rozšíření umožňuje analýzu a inverze převádí kladný obsah zpět na reálný parametr. Další názvy jsou užitečné jen tehdy, když mají přesnou definici a nezaměňují se za zavedenou teorii.

Pořadí celé série

1. Historický rozhovor a označená halucinace modelu
2. Úvod pro začátečníky
3. Definice a analytické základy
4. Inverzní úloha pro celé počty stran
5. Derivace, asymptotika a normalizace
6. Integrál a topologický pohled
7. Dynamické a algebraické konstrukce
8. Praktické výpočty a numerická inverze

Zdroje

1. Wolfram MathWorld: Regular Polygon — standardní geometrický vzorec.
2. NIST DLMF 4.19.6 — rozvoj kotangenty.
3. Encyclopedia of Mathematics: Metric — axiomy metriky.