Tento článek uzavírá celou sérii pojednání o Sklenského teorii čísel. Cílem je sjednotit všechny představené prvky do jednoho celistvého matematického systému: funkční základ, operátory, metrickou strukturu, dynamiku, topologii i fraktální interpolace. Vytvoříme formální axiomatický rámec a definujeme Sklenského sjednocující princip, který umožňuje interpretovat celou teorii jako konzistentní abstraktní strukturu.

1. Primární axiom: polygonální obsah

Základem teorie je Sklenského funkce K(n), definovaná pro n > 2:

$$K\left(n\right)=\frac{n}{4}\text{cot}\left(\frac{\pi }{n}\right)$$

Tento vztah vychází z geometrického základu, ale zbytek teorie jej interpretuje jako abstraktní funkci splňující konkrétní vlastnosti: rostoucí, spojitá, diferencovatelná, jednoznačná a invertovatelná.

2. Axiom kontinuity

Funkce K je definována nejen pro přirozená čísla, ale i pro všechna reálná x > 2. Z toho plyne existence idealizovaných „x-úhelníků“, které tvoří spojitý prostor:

$X=(2,\infty )$

Každému prvku x náleží jeden idealizovaný tvar a jeden obsah K(x). Tím je definována základní topologie prostoru Sklenského tvarů.

3. Axiom invertibility

Funkce K(x) je prostá a spojitě rostoucí, proto má inverzi

$K^\{-1\}:(0,\infty )\to X$

Tato inverze umožňuje převést libovolný obsah na „počet stran“ v idealizovaném smyslu.

4. Axiom metrické struktury

Na prostoru X definujeme metriku přes rozdíl obsahů:

$$d(x,y)=\left|K\right(x)-K(y\left)\right|$$

Tato metrika definuje Sklenského prostor tvarů jako metrický, separabilní a lokálně kompaktní.

5. Axiom operátorů

Na Sklenského funkci definujeme základní operátory:

diferenciační operátor D:

$$D\left[K\right]=K\text{'}$$

normalizační operátor N:

$$N\left[K\right]=\frac{K}{x-2}$$

Operátory tvoří komutativní algebru a pohybují se v prostoru funkcí zachovávajících monotonnitu a hladkost K(x).

6. Axiom dynamiky

Zavedeme tři dynamické systémy:

6.1 Discrete Sklenského dynamika

$$n_{\mathrm{k+1}}=n_k+f\left(K\right(n_k\left)\right)$$

6.2 Kontinuální dynamika

$$\frac{d}{x}=g\left(K\right(x\left)\right)$$

6.3 Hamiltonián

$$H(x,p)=p^2+K\left(x\right)$$

Tento Hamiltonián popisuje „pohyb tvaru“ v prostoru idealizovaných polygonů.

7. Axiom kompozice

Definujeme kompoziční operaci na prostoru X:

$$x\oplus y=K^\{-1\}\left(K\right(x)+K(y\left)\right)$$

Operace definuje komutativní a asociativní strukturu, která je analogií součtu, ale ve světě polygonálních obsahů.

8. Axiom fraktality

Zavedeme funkci F(x), která vytváří fraktální perturbaci Sklenského funkce:

$$F\left(x\right)=K\left(x\right)+\epsilon sin(xlogx)$$

Funkce zachovává asymptotiku K(x), ale přidává jemné oscilace využitelné pro simulace nepravidelných polygonálních struktur.

9. Sklenského sjednocující princip

Všechny axiomy lze shrnout do jediného sjednocujícího tvrzení:

Každý polygonální tvar, jeho obsah, růst, dynamika, kompozice i fraktální struktura lze vyjádřit jako transformace, derivace nebo integrály jediného jádra: funkce K(x).

Tato funkce je proto základním objektem celé teorie a působí jako generátor tvarového prostoru.

10. Závěr

Tímto článkem je Sklenského teorie čísel uzavřena jako ucelený matematický rámec: funkčně analyzovatelný, topologicky úplný, dynamicky rozšířitelný a algebraicky strukturovaný. Jde o teorii, která propojuje geometrii, analýzu, dynamické systémy i abstraktní algebry do jednoho soudržného celku.