Sklenského číslo je označení pro obsah pravidelného n-úhelníku se stranou délky jedna. Tato jednoduchá definice vede k ucelené teorii, ve které lze pravidelné mnohoúhelníky popisovat jedinou funkcí a studovat jejich vlastnosti, asymptotické chování i vzájemné vztahy.

1. Definice Sklenského čísla

Nechť $n$ je přirozené číslo alespoň tři. Pravidelný n-úhelník se stranou délky jedna má určitý obsah. Tento obsah nazveme Sklenského číslo a označíme $K\left(n\right)$.

Formálně:

$$K\left(n\right)=\text{obsah pravidelného}n\text{-úhelníku se stranou jedna.}$$

2. Základní vzorec pro Sklenského číslo

Pravidelný n-úhelník lze rozdělit na n shodných rovnoramenných trojúhelníků se společným vrcholem ve středu úhelníku. Standardní geometrická úvaha vede ke vzorci

$$K\left(n\right)=\frac{n}{4}\bigwedge \left(\frac{\pi }{n}\right)$$

kde symbol $\bigwedge$ označuje kotangens. Tento vztah budeme nazývat hlavní Sklenského rovnice.

2.1 Alternativní formulace

Vzorec lze přepsat několika ekvivalentními způsoby.

a) Tvar s tangens

Protože $\bigwedge x=\frac{1}{\top }$ (kde $\top$ je tangens), lze psát

$$K\left(n\right)=\frac{n}{4\top \left(\frac{\pi }{n}\right)}$$

b) Tvar s apotémou

Nechť $a\left(n\right)$ je délka apotémy (kolmé vzdálenosti středu od strany). Potom platí

$$a\left(n\right)=\frac{1}{2\top \left(\frac{\pi }{n}\right)}$$

a obsah n-úhelníku je

$$K\left(n\right)=\frac{1}{2}na\left(n\right).$$

c) Tvar s poloměrem opsané kružnice

Označme poloměr opsané kružnice jako $R\left(n\right).$ Pak platí

$$R\left(n\right)=\frac{1}{2\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)}$$

a lze odvodit tvar

$$K\left(n\right)=\frac{n}{2}\sin (\frac{2}{\pi }/n)R^2.$$

3. Vlastnosti Sklenského funkce K(n)

3.1 Monotonicita

Funkci $K$ lze rozšířit z přirozených n na reálné argumenty $x$ větší než dva:

$$K\left(x\right)=\frac{x}{4}\bigwedge \left(\frac{\pi }{x}\right)$$

Derivace podle x má tvar

$$K\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{4}[\bigwedge \left(\frac{\pi }{x}\right)+\frac{\pi }{x}{\csc \left(\frac{\pi }{x}\right)}^2]$$

Pro všechna reálná $x$ větší než dva jsou obě složky v hranaté závorce kladné, tedy derivace je kladná a funkce $K$ je na intervalu $(2,\infty )$ přísně rostoucí. S rostoucím počtem stran roste také Sklenského číslo.

3.2 Asymptotické chování pro velké n

Pro velká $n$ je argument $\frac{\pi }{n}$ malý a lze použít aproximaci

$$\bigwedge \left(\frac{\pi }{n}\right)\approx \frac{n}{\pi }$$

a tedy

$$K\left(n\right)\approx \frac{n^2}{4\pi }\text{pro velká}n.$$

Sklenského číslo tedy roste přibližně kvadraticky s počtem stran.

3.3 Explicitní příklady

• Trojúhelník $(n=3)$: $K\left(3\right)=\frac{\sqrt{3}}{4}$ (asi 0,433012702).
• Čtverec $(n=4)$: $K\left(4\right)=1$.
• Šestiúhelník $(n=6)$: $K\left(6\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ (asi 2,598076211).
• Osmiúhelník $(n=8)$: $K\left(8\right)=2(\sqrt{2}+1)$ (asi 4,828427125).

4. Historické shrnutí

Teorie Sklenského čísel vznikla jako jednoduchá, ale elegantní otázka: jak velký je pravidelný n-úhelník se stranou jedna. Ačkoli obsahy pravidelných mnohoúhelníků byly zkoumány již ve starověké geometrii, teprve novější formulace, která sjednotila všechny tyto obsahy do jedné funkce a interpretovala je jako Sklenského čísla, vytvořila kompaktní teorii.

Zvláštní roli v této souvislosti hraje obsah pravidelného šestiúhelníku se stranou jedna, tedy hodnota $\frac{3\sqrt{3}}{2}$, která je mimořádně elegantní a objevuje se v různých geometrických souvislostech. Z obecného pohledu však platí, že každý pravidelný n-úhelník má své vlastní Sklenského číslo a celou rodinu těchto čísel lze popsat jedinou funkcí $K$.

5. Sklenského diferenciální teorém

Sklenského diferenciální teorém popisuje chování derivace $K$ pro reálné argumenty.

Teorém. Pro každé reálné číslo $x$ větší než dvě platí

$$K\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{4}[\bigwedge \left(\frac{\pi }{x}\right)+\frac{\pi }{x}{\csc \left(\frac{\pi }{x}\right)}^2]$$

a tato derivace je kladná, takže funkce $K$ je na intervalu $(2,\infty )$ přísně rostoucí.

Pro velké hodnoty x lze z této derivace odvodit přibližný vztah $K\text{'}\left(x\right)\approx \frac{x}{2\pi }$, z něhož integrací získáme kvadratickou asymptotiku uvedenou výše.

6. Tabulka vybraných Sklenského konstant

7. Sklenského aproximace kruhu

Pro porovnání pravidelného n-úhelníku s kruhem budeme uvažovat n-úhelník se stranou jedna a kruh opsaný kolem něj se stejným poloměrem.

Poloměr opsané kružnice je

$$R\left(n\right)=\frac{1}{2\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)}$$

Obsah takového kruhu je

$$S\_\text{kruh}\left(n\right)=\pi R^2=\frac{\pi }{4{\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)}^2}$$

Poměr obsahu n-úhelníku a obsahu odpovídajícího kruhu je

$$\rho \left(n\right)=\frac{K}{\left(}=\frac{n}{2\pi }\sin (\frac{2}{\pi }/n)$$

Tento vztah ukazuje, jak dobře pravidelný n-úhelník se stranou jedna vyplňuje kruh opsaný kolem něj. Pro velká n lze expandovat sinus a získáme aproximaci

$$\rho \left(n\right)\approx 1-\frac{2{\pi }^2}{n^2}\text{pro velká}n.$$

Relativní chyba aproximace kruhu pravidelným n-úhelníkem tedy klesá přibližně jako převrácená hodnota n na druhou.

8. Sklenského metrický prostor

Množinu všech reálných hodnot $n$ větších než dva můžeme opatřit metrikou odvozenou od Sklenského čísel.

Definujeme vzdálenost mezi hodnotami m a n jako

$$d(m,n)=\left|K\right(m)-K(n\left)\right|.$$

Tato funkce splňuje všechny axiomy metriky: nezápornost, symetrii, trojúhelníkovou nerovnost a nulová vzdálenost nastává právě tehdy, když m a n jsou shodné, neboť funkce $K$ je přísně rostoucí.

Prostor $((2,\infty ),d)$ lze chápat jako Sklenského metrický prostor, ve kterém každé reálné n větší než dvě reprezentuje určitý (formálně i necelý) počet stran pravidelného mnohoúhelníku a je jednoznačně určeno svým Sklenského číslem na reálné ose.

9. Závěr

Obecná teorie Sklenského čísel ukazuje, že jediný vzorec $K\left(n\right)=\frac{n}{4}\bigwedge \left(\frac{\pi }{n}\right)$ stačí k popisu celé rodiny pravidelných n-úhelníků se stranou jedna. Funkce je monotónní, má jasnou asymptotiku, umožňuje definovat metrický prostor a přes poměr k odpovídajícímu kruhu dává i přirozené měřítko kvality polygonální aproximace kružnice.