Sklenského číslo nám říká, jaký obsah má pravidelný mnohoúhelník se stranou jedna. Skutečný trojúhelník, podlaha nebo šestiúhelníková deska ovšem mohou mít stranu libovolně dlouhou. Stačí kvůli tomu hledat nový vzorec pro každý rozměr? Nemusíme: příslušné Sklenského číslo jednoduše vynásobíme druhou mocninou délky strany.

Od jednotkové strany k libovolnému rozměru

Navazujeme na článek Sklenského čísla pro začátečníky. V něm jsme používali označení K(n). Zde totéž číslo zapíšeme jako S_n: index n vždy znamená počet stran. Platí tedy S_n = K(n).

Pro celé n ≥ 3 a délku strany a > 0 vypočítáme obsah S takto:

S = S_n · a².

Slovy: obsah se rovná Sklenského číslu pro daný počet stran krát délka strany na druhou. Za součinem už není žádný další dělitel. Druhá mocnina znamená a krát a, nikoli dvojnásobek strany.

Číslo S_n je bezrozměrný koeficient určený tvarem. Dosadíme-li délku strany v centimetrech, vyjde obsah v centimetrech čtverečních; při dosazení v metrech dostaneme metry čtvereční. Délka přitom může být menší než jedna, desetinná i libovolně velká.

Proč se délka strany umocňuje

Při zvětšení podobného obrazce se ve stejném poměru mění všechny jeho délky. Dvojnásobně velká strana znamená dvojnásobnou základnu i výšku každého dílčího trojúhelníku, a tedy čtyřnásobný obsah. Trojnásobná strana znamená devítinásobný obsah. Při zmenšení strany na polovinu zbude čtvrtina původního obsahu.

Obecně při změně délky strany v poměru k měníme obsah v poměru k². Právě proto můžeme jednou spočítané Sklenského číslo používat pro všechny velikosti téhož pravidelného mnohoúhelníku.

Rovnostranný trojúhelník se stranou 3 cm

Pravidelným trojúhelníkem je rovnostranný trojúhelník. Jeho Sklenského číslo je S₃ = √3 / 4, přibližně 0,433012702. Pro stranu 3 cm dosadíme:

S = (√3 / 4) · 3² = 9√3 / 4 ≈ 3,897114 cm².

Slovy: devět krát odmocnina ze tří, děleno čtyřmi. Jednotkový trojúhelník měl obsah přibližně 0,433; trojúhelník s trojnásobnou stranou má devětkrát větší obsah.

Čtverec: zvláštní případ s koeficientem jedna

U čtverce platí S₄ = 1. Obecný vzorec se proto zjednoduší na známý vztah:

S = 1 · a² = a².

Čtverec se stranou 3 cm má obsah 9 cm². Čtverec tedy není výjimkou z pravidla. Je případem, u kterého násobení Sklenského číslem nic nezmění, protože tím číslem je právě jedna.

Pravidelný šestiúhelník se stranou 3 cm

Šestiúhelník rozdělíme ze středu na šest shodných rovnostranných trojúhelníků. Proto S₆ = 6 · √3 / 4 = 3√3 / 2, přibližně 2,598076211. Dostaneme:

S = (3√3 / 2) · 3² = 27√3 / 2 ≈ 23,382686 cm².

Slovy: dvacet sedm krát odmocnina ze tří, děleno dvěma. Výsledek je také šestinásobkem obsahu výše vypočteného trojúhelníku se stejnou stranou.

Pravidelný osmiúhelník se stranou 3 cm

Pro osmiúhelník máme S₈ = 2(1 + √2), přibližně 4,828427125. Výpočet proběhne úplně stejně:

S = 2(1 + √2) · 3² = 18(1 + √2) ≈ 43,455844 cm².

Slovy: osmnáct krát součet jedné a odmocniny ze dvou. Všimněme si, že nejprve umocníme délku strany a potom násobíme celým koeficientem, včetně závorky.

Co když má mnohoúhelník jiný počet stran?

Nemusíme mít tabulku pro každý možný počet stran. Sklenského číslo vypočítáme přímo:

S_n = n / (4 · tan(π / n)).

Slovy: počet stran dělený čtyřnásobkem tangenty úhlu pí děleno počtem stran. Kalkulačka musí být v radiánech; ve stupních použijeme úhel 180° / n. Po vynásobení a² dostaneme standardní vzorec pro obsah pravidelného mnohoúhelníku, který uvádí Wolfram MathWorld: Regular Polygon. Sklenského číslo je v naší sérii autorské označení jeho koeficientu při jednotkové straně.

Například pravidelný pětiúhelník má koeficient √(25 + 10√5) / 4. Při straně 2 m tedy vyjde obsah √(25 + 10√5) ≈ 6,881910 m². Výpočet funguje pro každý pravidelný mnohoúhelník, ne však obecně pro nepravidelné obrazce: samotný počet stran a jedna délka k určení jejich obsahu nestačí.

Jak postupovat při výpočtu

1. Určíme počet stran a ověříme, že mnohoúhelník je pravidelný.
2. Vyhledáme nebo vypočítáme jeho Sklenského číslo.
3. Délku strany vyjádříme ve zvolené jednotce a umocníme ji na druhou.
4. Obě hodnoty vynásobíme a výsledek uvedeme ve čtverečních jednotkách. Zaokrouhlujeme až konečný výsledek.

V dalším článku Sklenského posloupnost: od trojúhelníku dál seřadíme tyto koeficienty podle počtu stran a prozkoumáme, co mají společného.