Tento článek navazuje na základní definici Sklenského čísel. Připomeňme, že K(n) je obsah pravidelného n-úhelníku se stranou jedna a že pro reálné x > 2 lze použít spojité rozšíření K(x).

1. Integrální pohled

Pokud máme spojitou funkci K(x), můžeme uvažovat integrál:

I(a, b) = ∫ od a do b K(x) dx

Tento integrál nemá přímý význam obsahu jednoho mnohoúhelníku. Lze jej však chápat jako kumulativní součet hodnot Sklenského funkce při plynulém přechodu parametru x od a do b.

Pro velká x lze použít aproximaci K(x) ≈ x² / (4π). Pak přibližně platí:

I(a, b) ≈ (b³ - a³) / (12π)

2. Inverzní úloha

Protože K(x) je rostoucí, lze pro kladný obsah A hledat parametr x, pro který platí:

K(x) = A

Pro celá n jde o hledání nejbližšího pravidelného n-úhelníku. Pro reálné x jde o spojitou inverzní úlohu.

Neexistuje jednoduchý elementární uzavřený vzorec pro K⁻¹(A), ale hodnotu lze najít numericky, například půlením intervalu nebo Newtonovou metodou.

3. Operátory nad funkcí K

Nad funkcí K(x) lze zavést různé operace. Například:

D[K] = K'

tedy derivaci, a:

N[K](x) = K(x) / x

tedy normalizaci na jednu stranu.

Je však třeba být přesný: derivace a normalizace obecně nekomutují. Obecně tedy neplatí, že D(N[K]) = N(D[K]). Proto je lepší mluvit o užitečných operacích nad funkcí K, nikoli o komutativní operátorové algebře.

4. Topologický pohled

Interval (2, ∞) s obvyklou topologií lze pomocí rostoucí spojité funkce K zobrazit na interval hodnot K((2, ∞)). Tento pohled umožňuje chápat parametr x a obsah K(x) jako dvě navzájem svázané souřadnice.

Pro celá čísla n dostáváme diskrétní posloupnost bodů:

3, 4, 5, ...

a k nim odpovídající hodnoty:

K(3), K(4), K(5), ...

5. Interpolace

Hodnoty K(n) pro celá n lze mezi sebou interpolovat. Nejjednodušší je použít přímo spojité rozšíření K(x). To je přirozenější než zavádět zvláštní fraktální interpolaci, pokud pro ni nemáme samostatnou geometrickou motivaci.

Fraktální nebo jiné speciální interpolace by bylo možné definovat, ale šlo by o dodatečnou konstrukci, ne o nutný důsledek samotné definice Sklenského čísel.

6. Co je pevné jádro teorie

Pevné a matematicky čisté jádro tvoří tyto body:

• definice K(n) jako obsahu pravidelného n-úhelníku se stranou jedna,
• vzorec K(n) = n / (4 · tan(π / n)),
• spojité rozšíření K(x) pro x > 2,
• monotonicita funkce,
• asymptotika K(x) ≈ x² / (4π),
• inverzní úloha a numerické hledání parametru podle obsahu.

7. Závěr

Rozšířená struktura Sklenského čísel je nejpřesnější tehdy, když se drží funkce K(x) a jejích jasně definovaných vlastností. Integrály, operátory, inverzní úlohy a topologický pohled mohou být užitečné, pokud jsou formulovány jako pracovní nástroje. Je však vhodné vyhýbat se tvrzením, která by naznačovala hotovou obecnou teorii tam, kde jde zatím o vlastní konstrukci nad jednou geometrickou funkcí.