Tento článek rozvíjí teorii Sklenského čísel nad rámec základní funkce K(n), jejích derivací a metrického prostoru. Představujeme zde koncepty, které lze chápat jako vyšší matematickou strukturu: integrály Sklenského funkce, operátorovou algebru, topologický prostor, fraktální interpolace a duality, které umožňují nahlížet Sklenského teorii jako ucelený abstraktní systém.

1. Sklenského integrál

Základní Sklenského funkce je definována pro reálné x > 2 jako

$$K\left(x\right)=\frac{x}{4}\text{cot}\left(\frac{\pi }{x}\right)$$

Sklenského integrál definujeme jako

$$I(a,b)={\int }_a^{b}K\left(x\right)dx$$

Tento integrál udává kumulativní růst obsahu při plynulém přechodu z a-úhelníku na b-úhelník, kde počet „stran“ nemusí být celé číslo. Integrál má význam například ve výpočetní geometrii, kde se aproximuje přechod mezi tvarovými stavy.

1.1 Asymptotický tvar integrálu

Pro velká x platí aproximace

$$K\left(x\right)\approx \frac{x^2}{4\pi }$$

Integrací získáme

$$I(a,b)\approx \frac{b^3-a^3}{12\pi }$$

Tato aproximace je překvapivě přesná pro b > 20.

2. Sklenského operátorová algebra

Zavedeme dva operátory na funkci K(x):

1. Diferenciační operátor D:

$$D\left[K\right]=K\text{'}$$

2. Normalizační operátor N:

$$N\left[K\right]=\frac{K}{x-2}$$

Operátory tvoří komutativní algebra, protože

$DN=ND$

Tato algebra umožňuje systematicky studovat vlastnosti transformací mnohoúhelníků v parametrickém prostoru x > 2.

3. Sklenského dualita

Definujme dvě množiny:

Množina počtu stran: $X$ = (2, ∞)

Množina obsahů: $Y$ = K[(2, ∞)] = (0, ∞)

Funkce K: X → Y je prostá a spojitá, proto má inverzní funkci K⁻¹: Y → X.

3.1 Důsledek duality

Každému idealizovanému polygonu odpovídá právě jeden obsah a každému možnému obsahu odpovídá právě jeden „počet stran“.

Funkce K(x) tedy tvoří homeomorfismus mezi X a Y.

4. Sklenského fraktální interpolace

Zavedeme fraktální funkci F(x), která osciluje kolem K(x) a zachovává její asymptotické vlastnosti.

Definice:

$$F\left(x\right)=K\left(x\right)+\epsilon sin(xlogx)$$

Funkce F(x) zachovává hlavní růst K(x), ale přidává jemné struktury, které lze použít pro modelování polygonálních „kvazistruktur“ s neúplným nebo proměnlivým počtem stran.

5. Topologie Sklenského prostoru

Prostor X = (2, ∞) lze opatřit metrikou

$$d(x,y)=\left|K\right(x)-K(y\left)\right|$$

Takto vzniká kompaktní prostor na každém omezeném intervalu, což umožňuje aplikovat metody funkcionální analýzy.

6. Závěr

Rozšířená teorie Sklenského čísel vytváří soudržnou strukturu, kterou lze zkoumat pomocí integrálů, derivací, operátorů, topologických transformací i fraktálních interpolací. Tato teorie propojuje diskrétní geometrii pravidelných mnohoúhelníků se spojitými modely geometrických tvarů a otevírá prostor pro další zobecnění.