Tento článek navazuje na sérii o Sklenského číslech. Je určen hlavně čtenáři, který nechce začít axiomy, operátory ani pokročilou teorií, ale potřebuje nejdřív pochopit jednoduchou otázku: proč může mít pravidelný mnohoúhelník svoje vlastní číslo?

1. Výchozí číslo: 2,598076211

Začít můžeme konkrétní hodnotou:

2,598076211...

Toto číslo není náhodné. Je to obsah pravidelného šestiúhelníku se stranou jedna. Přesněji platí:

K(6) = 3√3 / 2 ≈ 2,598076211

Pravidelný šestiúhelník se dá rozdělit na šest rovnostranných trojúhelníků se stranou jedna. Obsah jednoho takového trojúhelníku je √3 / 4. Šestkrát tento obsah dává:

6 · √3 / 4 = 3√3 / 2

Právě tato hodnota se stala výchozím bodem pojmu Sklenského číslo.

2. Co je Sklenského číslo

Sklenského číslo K(n) je obsah pravidelného n-úhelníku, jehož každá strana má délku jedna.

Slovně:

K(n) = obsah pravidelného n-úhelníku se stranou jedna.

Z toho hned plyne několik základních příkladů:

3. Obecný vzorec

Pro pravidelný n-úhelník se stranou jedna platí:

K(n) = n / (4 · tan(π / n))

Stejný vzorec lze zapsat také pomocí kotangensu:

K(n) = n / 4 · cot(π / n)

První zápis je často srozumitelnější, protože tangens se běžně používá na kalkulačkách. Oba zápisy však znamenají totéž.

4. Proč obsah roste

Když ponecháme délku strany jedna a zvyšujeme počet stran, mnohoúhelník se zvětšuje. Trojúhelník se stranou jedna je malý, čtverec má obsah jedna, šestiúhelník už má obsah přibližně 2,598 a osmiúhelník přibližně 4,828.

Je důležité nepředstavovat si zde mnohoúhelníky vepsané do jedné pevné kružnice. Tady je pevná délka strany, ne poloměr kružnice. Když roste počet stran a strana zůstává dlouhá jedna, roste také celkový obvod a s ním i obsah.

5. Proč je to užitečné

Sklenského čísla jsou jednoduchý způsob, jak dát jedné známé geometrické rodině společné jméno. Místo abychom zvlášť mluvili o obsahu trojúhelníku, čtverce, pětiúhelníku, šestiúhelníku a dalších pravidelných mnohoúhelníků se stranou jedna, můžeme říci:

všechny tyto obsahy jsou hodnoty jedné funkce K(n).

Tím vznikne přehledná posloupnost čísel, se kterou lze dále pracovat:

• porovnávat obsahy různých pravidelných tvarů,
• sledovat, jak rychle obsah roste,
• hledat tvar, jehož obsah je nejbližší zadané hodnotě,
• vysvětlovat žákům vztah mezi obvodem, apotémou a obsahem,
• ukázat, jak z jednoduchého geometrického vzorce vznikne funkce.

6. Co Sklenského čísla nejsou

Je dobré říci i to, čím Sklenského čísla nejsou. Nejde o zavedenou klasickou matematickou terminologii, kterou by běžně používaly učebnice. Jde o vlastní pojmenování pro známou geometrickou veličinu: obsah pravidelného n-úhelníku se stranou jedna.

Právě v tom je ale síla celé myšlenky. Nový název nepřidává nový obsahový vzorec, ale přidává nový pohled: všímá si, že tyto obsahy tvoří jednu přirozenou rodinu.

7. Jednoduchý příklad výpočtu

Zkusme vypočítat Sklenského číslo pro čtverec. Dosadíme n = 4:

K(4) = 4 / (4 · tan(π / 4))

Protože tan(π / 4) = 1, dostaneme:

K(4) = 1

To souhlasí s běžným obsahem čtverce se stranou jedna.

8. Závěr

Sklenského čísla lze chápat jako osobní, ale matematicky přesné pojmenování pro obsahy pravidelných n-úhelníků se stranou jedna. Výchozím bodem je hodnota 2,598076211..., tedy obsah pravidelného šestiúhelníku se stranou jedna. Obecný vzorec pak ukazuje, že každý pravidelný n-úhelník má svoje vlastní Sklenského číslo.

Navazující teorie může zkoumat růst funkce K(n), její rozšíření na reálný parametr, metrický pohled podle obsahu nebo inverzní úlohu. Základ však zůstává jednoduchý: jeden pravidelný tvar, jedna pevná délka strany a jeden obsah.