Předchozí články definovaly funkci K a popsaly její vlastnosti. Tento díl ukazuje praktický výpočet ve dvou směrech: z počtu stran určí obsah a ze zadaného obsahu numericky najde odpovídající reálný parametr i nejbližší skutečný mnohoúhelník.

Přímý výpočet

Pro pravidelný n-úhelník s délkou strany jedna platí:

K(n) = n / (4 · tan(π/n)).

Úhel musí být při výpočtu v radiánech. V tabulkovém procesoru nebo programovacím jazyce proto nepředáváme funkci tangens hodnotu 180/n, ale π/n. Standardní obecný vzorec pro stranu délky a uvádí Wolfram MathWorld.

Kontrolní tabulka

Zaokrouhlení patří až na konec výpočtu. Mezivýsledky je vhodné ponechat v plné přesnosti, jinak se chyba zbytečně zvětšuje při porovnávání nebo numerické inverzi.

Rychlý odhad pro velké hodnoty

Z rozvoje kotangenty plyne:

K(x) = x²/(4π) − π/12 − π³/(180x²) − …

Rozvoj je publikován v NIST DLMF 4.19.6. Pro hrubý odhad lze ponechat jen první člen. Při obrácení vztahu dostaneme x ≈ √(4πA). Přesnější počáteční odhad vznikne započtením konstanty:

x₀ = √(4π(A + π/12)).

Tento výraz není přesnou inverzí. Je pouze dobrým počátkem pro numerickou metodu.

Inverzní úloha

Pro zadaný obsah A > 0 hledáme reálné x > 2 splňující K(x) = A. Protože K je spojitá a přísně rostoucí, existuje právě jedno řešení. Metoda půlení intervalu je pomalejší než některé jiné algoritmy, ale je jednoduchá a při správném uzavření kořene spolehlivá; obecný princip popisuje NIST DLMF § 3.8.

Ukázka v PHP

function sklenskehoCislo(float $x): float
{
    if ($x <= 2.0) {
        throw new InvalidArgumentException("Parametr x musí být větší než 2.");
    }

    return $x / (4.0 * tan(M_PI / $x));
}

function inverzniK(float $obsah, float $tolerance = 1.0e-12): float
{
    if ($obsah <= 0.0) {
        throw new InvalidArgumentException("Obsah musí být kladný.");
    }

    $dolni = 2.0;
    $horni = max(3.0, sqrt(4.0 * M_PI * ($obsah + M_PI / 12.0)) + 1.0);

    while (sklenskehoCislo($horni) < $obsah) {
        $horni *= 2.0;
    }

    for ($i = 0; $i < 100 && $horni - $dolni > $tolerance; $i++) {
        $stred = $dolni + ($horni - $dolni) / 2.0;

        if (sklenskehoCislo($stred) < $obsah) {
            $dolni = $stred;
        } else {
            $horni = $stred;
        }
    }

    return $dolni + ($horni - $dolni) / 2.0;
}

Střed intervalu počítáme jako $dolni + ($horni - $dolni) / 2. Tento zápis je obecně odolnější proti přetečení než prostý součet mezí, i když u zdejších běžných hodnot nejde o praktický problém.

Příklad pro obsah 10

Pro A = 10 dá zpřesněný asymptotický odhad přibližně x₀ = 11,355772729. Metoda půlení intervalu najde:

K⁻¹(10) ≈ 11,356517142.

Skutečný pravidelný mnohoúhelník musí mít celočíselný počet stran. Porovnáme proto sousední hodnoty:

• K(11) ≈ 9,365639907; rozdíl od 10 je přibližně 0,634360093.
• K(12) ≈ 11,196152423; rozdíl od 10 je přibližně 1,196152423.

Nejbližším tvarem je tedy pravidelný jedenáctiúhelník se stranou jedna.

Jak zvolit nejbližší celé n

1. Numericky vypočítejte reálné x = K⁻¹(A).
2. Vezměte dolní celé číslo, nejméně však 3, a jeho bezprostředního následníka.
3. Spočítejte oba absolutní rozdíly od A.
4. Vyberte menší rozdíl; při přesné rovnosti uveďte obě řešení.

Zaokrouhlení samotného reálného parametru x nemusí vždy dát správný výsledek, protože hodnoty K(n) nejsou rovnoměrně rozestoupené. Rozhodující je rozdíl obsahů.

Meze výpočtu

Výsledek porovnává pouze plochu. Neříká nic o shodnosti nebo podobnosti obecných útvarů a neměl by být zaměňován za geometrickou vzdálenost mezi jejich hranicemi. Pro praktické rozměry se stranou a stačí jednotkovou hodnotu vynásobit a².

Návaznost na sérii

Začněte článkem Sklenského čísla pro začátečníky, přesný analytický základ je v Obecné teorii Sklenského čísel a klasifikaci podle nejbližšího celočíselného parametru rozvíjí Sklenského spektrum.

Zdroje

1. Wolfram MathWorld: Regular Polygon — vzorec a kontrolní přesné hodnoty.
2. NIST DLMF 4.19.6 — rozvoj kotangenty.
3. NIST DLMF § 3.8: Nonlinear Equations — numerické hledání kořenů a metoda půlení intervalu.