Každému pravidelnému mnohoúhelníku se stranou jedna přísluší jeho Sklenského číslo. Seřadíme-li tato čísla podle počtu stran, dostaneme Sklenského posloupnost. Jejím prvním členem je obsah rovnostranného trojúhelníku, druhým obsah čtverce a další členy patří pětiúhelníku, šestiúhelníku a všem následujícím pravidelným mnohoúhelníkům.

Jedna definice, nekonečně mnoho členů

Navazujeme na Sklenského čísla pro začátečníky a na článek Obsahy pravidelných n-úhelníků pomocí Sklenského čísel. Označení S_n znamená totéž co dřívější K(n): číselnou hodnotu obsahu pravidelného n-úhelníku při jednotkové délce strany.

S_n = n / (4 · tan(π / n)), pro celá n ≥ 3.

Slovy: počet stran dělíme čtyřnásobkem tangenty úhlu pí děleno počtem stran. Úhel ve vzorci je v radiánech. Posloupnost pak zapisujeme jako:

(S₃, S₄, S₅, S₆, …).

Dolní index označuje počet stran, nikoli pořadí členu od jedničky. Proto první člen nese index 3. Pokud bychom chtěli číslování od jedné, mohli bychom zavést T_j = S_j+2 pro j ≥ 1. Obsah posloupnosti by se tím nezměnil, jen způsob zápisu.

Začínáme trojúhelníkem a pokračujeme čtvercem

První člen je S₃ = √3 / 4 ≈ 0,433012702. Druhý je S₄ = 1. Dále následují S₅ = √(25 + 10√5) / 4 a S₆ = 3√3 / 2. U osmiúhelníku dostáváme S₈ = 2(1 + √2).

Tato přesná vyjádření odpovídají běžným geometrickým vzorcům; přehled nabízí Wolfram MathWorld: Regular Polygon. Název Sklenského posloupnost v této sérii používáme pro jejich společné uspořádání podle počtu stran.

Posloupnost tedy nezačíná jedničkou, přestože se v ní jednička hned na druhém místě objeví. Začíná kladným číslem menším než jedna, které patří trojúhelníku. Od čtverce dál jsou všechny její členy alespoň jedna.

Proč hodnoty stále rostou

Při přechodu od jednoho členu k následujícímu přidáváme stranu, ale délku každé strany stále držíme rovnou jedné. Roste tedy obvod a mění se i vzdálenost středu od stran. Výsledkem je větší obsah.

Růst lze ověřit také přímo ve vzorci. S rostoucím n se úhel π / n zmenšuje. Tangens je na intervalu od nuly do π/2 kladný a rostoucí, takže tangens tohoto zmenšujícího se úhlu klesá. Ve zlomku pro S_n současně roste čitatel a klesá kladný jmenovatel. Každý další člen je proto větší než předchozí.

S₃ < S₄ < S₅ < S₆ < …

Není to aritmetická ani geometrická posloupnost

U aritmetické posloupnosti bychom k předchozímu členu pokaždé přičítali stejné číslo. Zde je první přírůstek přibližně 0,566987298, ale další už 0,720477401. Rozdíly tedy nejsou konstantní.

U geometrické posloupnosti bychom násobili stále stejným číslem. Ani to zde neplatí: podíl druhého a prvního členu je přibližně 2,309401077, zatímco podíl třetího a druhého přibližně 1,720477401. Jednotlivé členy určujeme společným vzorcem podle počtu stran, nikoli přičítáním nebo násobením pevné hodnoty.

Blíží se posloupnost obsahu kruhu?

Mnohoúhelník s mnoha stranami se tvarem podobá kruhu. To však neznamená, že se jeho obsah při našem zadání blíží jednomu pevnému číslu. Strany mají pořád délku jedna, takže s jejich počtem roste obvod a celý obrazec se zvětšuje. Sklenského posloupnost roste bez omezení.

Jiná situace by nastala, kdyby všechny mnohoúhelníky byly vepsány do téže kružnice. Pak by se délka strany s přibývajícími vrcholy zmenšovala a obsahy by se blížily obsahu daného kruhu. To ale není zadání naší posloupnosti.

Jak rychle posloupnost roste

Pro velké počty stran lze použít jednoduchý odhad:

S_n ≈ n² / (4π).

Slovy: druhá mocnina počtu stran dělená čtyřmi pí. Odhad plyne z toho, že tangens malého úhlu v radiánech je přibližně roven tomuto úhlu. Přesněji poměr S_n / n² směřuje k 1 / (4π). Zdvojnásobení už velkého počtu stran proto znamená přibližně čtyřnásobný obsah.

Ještě lepší odhad je S_n ≈ n² / (4π) − π/12. Získáme jej dosazením π / n do rozvoje kotangenty, který uvádí NIST Digital Library of Mathematical Functions, rovnice 4.19.6. Například pro sto stran dává přímý výpočet přibližně 795,512899, zatímco tento zpřesněný odhad 795,512916.

K čemu posloupnost slouží

Posloupnost funguje jako zásobník koeficientů pro výpočet obsahů. Vybereme člen podle počtu stran a vynásobíme jej druhou mocninou skutečné délky strany: S = S_n · a². Počet stran určuje tvarový koeficient, délka strany určuje měřítko.

Chceme-li porovnávat tvary, ponecháme stranu jednotkovou a čteme samotnou posloupnost. Chceme-li spočítat konkrétní plochu, přidáme délku strany. Oba pohledy tak spojuje stejná jednoduchá definice.