Teorie Sklenského čísel, popisující obsah pravidelných n-úhelníků se stranou délky jedna, lze dále rozšířit zavedením nových konceptů. Jedním z nich je Sklenského spektrum, které zkoumá inverzní problém: pro jaké hodnoty n je Sklenského číslo nejbližší nějaké dané hodnotě. Druhým je koncept kvantování polygonů, který umožňuje seskupovat tvary podle jejich geometrické blízkosti měřené pomocí Sklenského čísel.

1. Sklenského spektrum

Sklenského číslo je definováno vztahem

$$K\left(n\right)=\frac{n}{4}\bigwedge \left(\frac{\pi }{n}\right)$$

Sklenského spektrum řeší opačnou úlohu:

Pro danou hodnotu A najít takové n, že K(n) je A nejbližší.

1.1 Formální definice spektra

Nechť A je kladné reálné číslo. Definujeme množinu indexů spektra jako

$$S\left(A\right)=\{n\in \{3,4,5,...\left\}\right|\left|K\right(n)-A|\le \text{minimální vzdálenosti}\}$$

Sklenského spektrum je tak funkce, která každé hodnotě A přiřazuje nejbližší pravidelné n-úhelníky podle jejich obsahu.

1.2 Spektrální intervaly

Funkce K(n) je rostoucí, proto mezi hodnotami K(n) a K(n+1) existuje interval, ve kterém má nejbližší odpovídající tvar vždy konkrétní n. Tento interval je dán hranicemi

$$\frac{K\left(n\right)+K(n-1)}{2}\le A\le \frac{K\left(n\right)+K(n+1)}{2}$$

Tím lze spočítat celé spektrum reálných hodnot A.

2. Kvantování polygonů

Sklenského funkce nám umožňuje definovat pojem téměř ekvivalentních polygonů. Přirozená definice je založena na rozdílu jejich obsahů.

2.1 Definice kvantové třídy

Nechť epsilon je malé kladné číslo. Řekneme, že pravidelné n-úhelníky a m-úhelníky se stranou jedna jsou kvantově ekvivalentní, pokud platí

$$\left|K\right(n)-K(m\left)\right|\le \epsilon$$

Jinými slovy, polygonální tvary jsou téměř nerozeznatelné z hlediska obsahu.

2.2 Kvantová síť

Pro pevně zvolené epsilon lze n-úhelníky rozdělit do diskrétních tříd, které nazveme kvantová spektra.

Příkladem:

• Pro epsilon rovno 0.1 mohou tvořit jednu třídu n = 20 až n = 22.
• Pro epsilon rovno 0.01 bude každá třída užší.

V limitě epsilon rovno nula dostáváme klasickou teorii, kde každé n má vlastní jedinečnou hodnotu.

3. Praktické aplikace teorie

Ačkoli se teorie Sklenského čísel na první pohled jeví jako čistě abstraktní geometrická hra, lze pro ni nalézt skutečné praktické aplikace.

3.1 Optimalizace polygonálních aproximací

V numerických metodách se často aproximuje kruh pomocí mnohoúhelníků. Sklenského spektrum umožňuje určit, pro jaký počet stran je obsah polygonu nejbližší požadované hodnotě. To je užitečné například ve finite-elementových metodách, kde je třeba volit optimální tvar prvků.

3.2 Klasifikace tvarů podle obsahu

Kvantování polygonů vytváří přirozené skupiny tvarů, které lze využít při strojovém učení nebo při kompresi tvarových dat. Polygony, které spadají do jedné kvantové třídy, lze pokládat za obsahově ekvivalentní.

3.3 Analýza růstu obsahu u zjemňujících se tvarů

Sklenského diferenciální teorém ukazuje, jak rychle roste obsah pravidelného n-úhelníku při přidání dalších stran. To je důležité například při simulacích, kde se počet stran adaptivně zvyšuje, aby aproximace byla přesnější.

3.4 Geometrické kódování

Sklenského číslo může sloužit jako jednočíselný popis tvaru. Tím lze pravidelné polygony jednoznačně reprezentovat jediným číslem, což se hodí v kryptografických schématech či při ukládání geometrických dat.

3.5 Metrický prostor pro geometrické databáze

Sklenského metrický prostor umožňuje definovat vzdálenost mezi dvěma pravidelnými n-úhelníky jako rozdíl jejich obsahů. To poskytuje jednoduchý a efektivní způsob vyhledávání „podobných tvarů“ v rozsáhlých databázích.

4. Závěr

Koncepce Sklenského spektra i kvantování polygonů ukazuje, že teorie Sklenského čísel není jen jednoduchým vztahem pro obsah mnohoúhelníku, ale lze ji rozvinout do uceleného matematického systému s jasnými aplikacemi. Od analýzy polygonálních aproximací přes klasifikaci tvarů až po metriku geometrického prostoru nabízí tato teorie kompaktní a výkonné nástroje.