Sklenského spektrum je v této sérii pracovní název pro jednoduchou inverzní úlohu. Ze zadaného obsahu A nehledáme nový druh fyzikálního spektra, ale pravidelný mnohoúhelník se stranou jedna, jehož obsah je hodnotě A nejblíže.

Přesná formulace

Pro celé n ≥ 3 označme:

K(n) = n / (4 · tan(π / n)).

Pro zadané reálné A ≥ 0 hledáme takové celé n ≥ 3, které minimalizuje |K(n) − A|. Standardní vzorec pro K je speciálním případem obecného obsahu pravidelného mnohoúhelníku, který uvádí Wolfram MathWorld.

Proč stačí dvě sousední hodnoty

Funkce K(x) je na intervalu x > 2 přísně rostoucí. Jakmile najdeme reálné řešení x_A rovnice K(x) = A, stačí porovnat nejbližší přípustná celá čísla kolem něj. U velmi malého A zůstává nejmenší možností trojúhelník, tedy n = 3.

Hranice mezi třídami

Pod absolutním rozdílem obsahů leží hranice mezi hodnotami K(n) a K(n + 1) přesně v jejich aritmetickém průměru:

B_n = (K(n) + K(n + 1)) / 2.

• Je-li A < B_n, je bližší hodnota K(n).
• Je-li A > B_n, je bližší K(n + 1).
• Je-li A = B_n, jsou obě možnosti stejně vzdálené a úloha má dvě rovnocenná řešení.

Příklad

Uvažujme A = 3. Platí K(6) ≈ 2,598076211 a K(7) ≈ 3,633912444. Jejich hranice je přibližně 3,115994328. Protože 3 leží pod touto hranicí, je nejbližším tvarem pravidelný šestiúhelník.

Rozdíl od šestiúhelníku je přibližně 0,401923789; rozdíl od sedmiúhelníku přibližně 0,633912444.

Obsahová blízkost a tolerance

Pro zvolenou toleranci ε > 0 můžeme říci, že parametry m a n jsou obsahově blízké, pokud |K(m) − K(n)| ≤ ε. Tato relace je reflexivní a symetrická, ale při pevném ε obecně nemusí být tranzitivní. Není tedy bez další úpravy ekvivalencí a nevytváří automaticky disjunktní „kvantové třídy“.

Bezpečnější je mluvit o okolí jedné hodnoty nebo o přiřazení k nejbližšímu K(n). Pojem „kvantování“ zde znamená diskretizaci podle celočíselného počtu stran, nikoli kvantovou fyziku.

Co porovnání neříká

Stejný nebo podobný obsah neznamená stejný obvod, úhly, poloměr opsané kružnice ani podobnost tvarů. Spektrum pracuje s jediným číselným příznakem: s plochou při délce strany jedna.

Praktický algoritmus

1. Ověřte, že A je nezáporné.
2. Najděte dvě sousední hodnoty K(n) ≤ A ≤ K(n + 1). U hodnot pod K(3) rovnou zvolte trojúhelník.
3. Porovnejte oba absolutní rozdíly, případně použijte hranici B_n.
4. Při přesné shodě rozdílů vraťte obě řešení.

Kam pokračovat

Numerický výpočet, počáteční odhad a ukázkový program obsahuje článek Sklenského čísla v praxi: výpočty a inverzní úloha. Analytický základ je v textu Obecná teorie Sklenského čísel.

Zdroje

1. Wolfram MathWorld: Regular Polygon — vzorec pro obsah pravidelného mnohoúhelníku.
2. Encyclopedia of Mathematics: Metric — vlastnosti vzdálenosti použité při porovnávání hodnot.